Lição Nº
Sumário: - Movimento circular uniforme (m.c.u.).
- Movimento
Circular e Uniformemente Variado (m.c.u.v.).
-
Exercícios
Movimento
Circular Uniforme
Uma partícula está em
movimento circular uniforme num dado referencial quando se movimenta sobre uma
circunferência com velocidade linear de módulo constante.
O vetor velocidade linear é
sempre tangente à trajetória e varia continuamente porque sua direção varia.
Período e Frequência
Período
(T) é o tempo levado pela
partícula para percorrer uma vez a sua trajetória. É dado pela expressão:
T=1/f
Frequência
(f) é o número de voltas
dadas pela partícula na unidade de tempo. É dado pela expressão:
f=1/T
A unidade de frequência é
chamada hertz e simbolizada por Hz: 1Hz
= 1/s.
Velocidade Linear e
Velocidade Angular
A velocidade linear da
partícula, é definida como a distância percorrida sobre a trajetória dividida
pelo intervalo de tempo levado para percorrê-la.
v=(2πR)/T
O vetor velocidade linear é sempre tangente à trajetória
da partícula.
Se, consideramos o ângulo
descrito pela linha que une a partícula ao centro da trajectória, podemos
definir a velocidade angular.
O módulo da velocidade
angular é dado pelo cociente do ângulo descrito (em radianos) pelo intervalo de
tempo correspondente.
Assim:
ω=2π/T ou sendo que f=1/T,
então ω=2πf
A unidade SI da velocidade
angular é o radiano por segundo (rad/s)
A direção da velocidade
angular é perpendicular ao plano da trajetória e o sentido é dado pela regra da
mão direita: com os dedos da mão direita colocados ao longo da trajetória
descrita pela partícula e na mesma direção do movimento, o polegar aponta o
sentido da velocidade angular.
Comparando a expressão do
módulo da velocidade linear com a expressão do módulo da velocidade angular,
podemos escrever:
v= ωR
Aceleração
Centrípeta
Pela primeira lei de Newton,
se é nula a força resultante sobre uma partícula, ela está parada ou em
movimento retilíneo uniforme num referencial inercial.
Como o vector v(t2) é diferente do vector v(t1), ou seja, como ∆v é diferente de zero, existe uma força
resultante não nula sobre a partícula em MCU. Em outras palavras, existe uma
aceleração.
Por outro lado, como o
módulo do vector velocidade linear é constante, o vector aceleração não pode
ter componente na direção do vector velocidade linear. Então, o vector
aceleração da partícula, em qualquer instante de tempo, aponta para o centro da
sua trajetória.
A aceleração centrípeta, é
responsável pela variação da direcção da velocidade e é dada pela expressão:
ac=v2/R ou seja, como v= ωR,
então ac=ω2R
logo, em cada instante do
movimento circular e uniforme:
θ=θo+ωt e s=so+vt
Exercício A1.6 - Uma partícula, que
executa 150rpm (rotações por minutos),
descreve no sentido horário, uma trajectória circular de raio 20cm.
a) Determine para o
movimento da partícula:
a.1) O Período.
a.2) A velocidade linear.
a.3) A velocidade angular.
a.4) A aceleração
centrípeta.
b) Para o instante de tempo de 0,30s, calcule:
b.1) O comprimento do arco
descrito pela partícula (variação do espaço).
b.2) O ângulo ao centro
descrito pela partícula (variação do ângulo).
Resolução
A partícula está animada de
m.c.u. porque a frequência, 150rpm é
constante, logo a frequência é:
f=150/60 f=2,5Hz
O raio da trajectória é R=0,20m.
a)
a.1) Dados Fórmula Resolução
T=? T=1/f T=1/2,5
f=2,5Hz T=0,40s
R: O período do movimento da partícula é de 0,40s
a.2) Dados Fórmula Resolução
v=? v=2πRf v=2.3,14.0,20.2,5
R=0,20m v=6,28.0,5
f=2,5Hz v=3,14m/s
π=3,14
R: A velocidade linear da partícula é de 3,14m/s.
a.3) Dados Fórmula Resolução
ω=? ω=2πf ω=2π.2,5
f=2,5Hz ω=5π
π=3,14 ω=5πrad/s
R: Como a partícula descreve atrajectória em sentido
horário, o vector velocidade angular tem o sentido descendente e
consequentemente de valor negativo. Então, o valor da velocidade angular do
movimento da partícula é igual a -5πrad/s.
a.4) Dados Fórmula Resolução
ac=? ac=ω2R ac=(-5π)2.0,20
ω=-5πrad/s ac=(-15,7)2.0,20
R=0,20m ac=246,49.0,20
ac=49,298m/s2
R: A aceleração centrípeta do movimento da partícula é
igual a 49,298m/s2
b) ∆t=0,30s
b.1) Dados Fórmula Resolução
∆s=? v=∆s/∆t ∆s=3,14m/s.0,30s
v=3,14m/s ∆s=v∆t ∆s=0,942m
∆t=0,30s
R: O comprimento do arco descrito pela partícula durante 0,30s é igual a 0,942m ou 94,2cm.
b.2) Dados Fórmula Resolução
∆θ=? ω=∆θ/∆t ∆θ=-5πrad/s.0,30s
ω=-5πrad/s ∆θ=ω.∆t ∆θ=-1,5πrad
∆t=0,30s
R: Como a partícula descreve a trajectória no
sentido horário o ângulo ao centro descrito durante 0,30s apresenta um valor negativo
e igual a -1,5πrad.
Movimento
Circular e Uniformemente variado (m.c.u.v.)
O Movimento Circular e
Uniformemente Variado (m.c.u.v.) é o movimento de uma partícula que descreve
uma trajectória de raio R, cujo módulo da velocidade varia uniformemente com o
tempo.
Neste movimento a
aceleração, além da componente normal ou centrípeta, an, apresenta a
componente tangencial, at, que varia em direcção, mas de módulo
constante. Ou seja:
at=Constante
at=∆v/∆t
Então a velocidade linear é
dada por:
v=vo+att
Para a aceleração angular,
temos:
α= ∆ω/∆t
A unidade SI da aceleração
angular é o radiano por segundo ao quadrado (rad/s2)
Então a velocidade angular é
dada por:
ω=ωo+αt
É de referir que, em cada
instante, o módulo da componente normal, ou centrípeta da aceleração é:
an=v2/R ou an=ω2R
A relação entre a aceleração
tangencial e a aceleração angular é:
at=αR
Como se trata de um
movimento uniformemente variado, então:
s=so+vot+1/2att2 e
θ=θo+ωot+1/2αt2
O m.c.u.v., pode ser:
Movimento
Circular e Uniformemente Acelerado (m.c.u.a.),
quando verifica-se que a aceleração angular e a velocidade angular têm o mesmo
sentido, pelo que o módulo desta aumenta, e que a componente tangencial da
aceleração e a velocidade apresentam também o mesmo sentido, logo o módulo
desta também aumenta.
A partícula desloca-se com o
m.c.u.a.:
- No sentido anti-horário
quando v > 0 e at >0, bem como α > 0 e ω > 0.
- No sentido horário do
trajectória se v < 0 e at < 0 bem como ω < 0 e α < 0.
Movimento Circular e
Uniformemente Retardado (m.c.u.r.), quando verifica-se que a aceleração angular
e a velocidade angular têm sentidos opostos, pelo que o módulo desta diminui, e
que a componente tangencial da aceleração e a velocidade apresentam também
sentidos opostos, logo o módulo desta também diminui.
A partícula desloca-se com
m.c.u.r.:
- No sentido anti-horário da
trajectória quando v > 0 e at < 0 bem como ω > 0 e α < 0.
- No sentido horário da
trajectória se v < 0 e at > 0 bem como ω < 0 e α > 0.
Exercício A1.7 - Uma partícula
descreve uma circunferência de raio 2m. A
posição angular da partícula é dada por: θ=4-2t+2t2.
Determine:
a) O valor da:
a.1) Posição
angular inicial;
a.2) Velocidade angular inicial;
a.3) Aceleração angular da
partícula.
b) Os valores das:
b.1) Componentes tangencial;
b.2) Normal da aceleração.
Resolução
a) R: A expressão que
relaciona a posição angular de uma partícula animada de m.c.u.v. com o tempo é:
θ=θo+ωot+1/2αt2 Comparando esta expressão
geral com
θ=4-2t+2t2,
temos:
a.1) R: θo = 4rad
a.2) R: ωo = -2rad/s
a.3) 1/2α = 2 Û R: α = 4rad/s2
b)
b.1) Componente Tangencial da aceleração
Dados Fórmula Resolução
at = ? at = α.R at = 4.2
α = 4rad/s2 at = 8m/s2
R = 2m
R: O valor da componente tangencial da
aceleração é de 8m/s2
b.2) Componente Tangencial da aceleração – como an=ω2R,
precisamos de determinar ω, quando t=1s.
Dados Fórmula Resolução
ω=? ω=ωo+αt ω=-2rad/s+4rad/s2.1s
ωo=-2rad/s ω=-2rad/s+4rad/s
α
= 4rad/s2 ω=2rad/s
R: A velocidade angular final é de 2rad/s
Dados Fórmula Resolução
an=? an=ω2R an=22.2
ω=2rad/s an=4.2
R=2m an=8m/s2
R: O
valor da componente normal da aceleração é de 8m/s2
Lição Nº
Sumário: Breve revisão do movimento rectilíneo e
uniforme (m.r.u.).
- Movimento rectilíneo e uniformemente variado
(m.r.u.v).
-
Exercícios
No m.r.u., todo o movimento
pode ser definido apenas num eixo, pelo que, podemos caracterizar a velocidade
como sendo:
v=∆x/∆t
Equações das posições
No m.r.u. a equação das
posições é apresentada como uma equação do tipo:
x=x(t) De v=∆x/∆t
Temos: v∆t=∆x ou ∆x=v∆t,
como x-xo=∆x,
então: x-xo=v∆t ou seja x=xo+v∆t Lei Geral
como ∆t=t-to e se to=0s,
então x=xo+vt Lei das posições
e se xo=0m, logo, x=vt
No m.r.u. as partículas
podem deslocar-se no sentido positivo (v>0) ou
negativo (v<0) da
trajectória.
Exercício A1.4 - Dois automóveis A e B deslocam-se em uma estrada rectilinea.
As equações do seu movimento são:
xA=2,75t
(SI)
xB=37,5-2,25t (SI)
a) Indique, justificando,
qual o sentido em que se desloca o automóvel A e B.
b) Calcule em que instante
os dois automóveis se encontram.
c) Determine a distância que
separa o automóvel A do B, no fim de 5,25s de movimento.
Resolução
a) Como o sentido do
movimento é dado pelo sinal da velocidade, e trata-se do m.r.u., então x=xo+vt, das equações das
posições do automóvel A vA=2,75m/s e do B vB=-2,25m/s,
logo o automóvel A
desloca-se no sentido positivo da trajectória, pois vA>0 e o automóvel B desloca-se no sentido negativo da
trajectória, pois vB<0.
b) O instante em que os dois
automóveis se encontram é no instante em que xA=xB, então:
Dados Fórmula Resolução
XA=2,75t xA=xB 2,75t=37,5-2,25t
xB=37,5-2,25t 2,75t+2,25t=37,5
t=? 5t=37,5
t=37,5/5
t=7,5s
R: Os dois autocarros encontram-se ao fim de 7,5s
c) Dados F/R Dados F/R
xA=? XA=2,75t xB=? xB=37,5-2,25t
t=5,25s XA=2,75.5,25 t=5,25s xB=37,5-2,25.5,25
xA=14,4m xB=37,5-11,8
xB=25,7m
Dados F/R
xA=14,4m d=|xA-xB|
xB=25,7m d=|14,4m-25,7m|
d=? d=|-11,3m|
d=11,3m
R: A distância que ao fim de 5,25s de movimento separa o
automóvel A e B é de 11,3m.
Movimento Rectilíneo e Uniformemente Variada (m.r.u.v.)
O
movimento rectilíneo uniformemente variado (m.r.u.v.), é
um movimento em linha recta, cuja velocidade varia de maneira uniforme. No
caso em que a velocidade aumenta, dizemos que acelera, e em caso de quedas,
desacelera (ou que tem aceleração negativa).
A aceleração é a taxa de mudança de
velocidade. Ele pode ser positivo ou negativo. Para encontrar o valor da aceleração,
simplesmente utilizar a seguinte equação:
a=∆v/∆t
ou a=(vf-vo)/(tf-to)
A unidade SI da aceleração é
metro por segundo ao quadrado (m/s2 ou
m.s-2)
O m.r.u.v., pode ser:
- Movimento Rectilíneo e Uniformemente Acelerado (m.r.u.a.): quando a
aceleração e a velocidade têm o mesmo sentido, a velocidade da partícula
aumenta;
- Movimento Rectilíneo e Uniformemente Retardado (m.r.u.r.): quando a
aceleração e a velocidade têm sentidos opostos, a velocidade da partícula
diminui.
Equações das Velocidades
No m.r.u.v., a equação das
velocidades é dada como uma equação do tipo:
v=v(t)
De a=∆v/∆t, temos
a=(v-vo)/ ∆t
a∆t= v-vo
vo+a∆t=v
v= vo+a∆t Lei Geral
Como ∆t=t-to e se to=0s, então
v= vo+at Lei das velocidade
se vo=0m/s, logo
v= +at
Equação das posições
Para se obter a equação das
posições parte-se da expressão
∆x=[(vo+v)/2]∆t
se to=0s
∆x=[(vo+v)/2]t Como é m.r.u.v. e v=voat, entáo
∆x=[(vo+vo+at)/2]t
∆x=[(2vo+at)/2]t
∆x=vot+1/2at2
x-xo=vot+1/2at2
x=xo+vot+1/2at2 Equação das posições
Relação entre a velocidade e
o deslocamento no m.r.u.v.
Das equações v=f(t) e x=f(t), eliminando o t, obtém-se uma expressão que para
qualquer instante relaciona a velocidade e o deslocamento.
De x=xo+vot+1/2at2 e de v= vo+a∆t onde t=(v-vo)/a
Substituindo t na equação x=f(t), tem-se:
∆x=vo[(v-vo)/a]+1/2a[(v-vo)/a]2
∆x=(vov-vo2)/a+1/2a[(v2-2vvo+vo2)/a2]
∆x=(vov-vo2)/a+(v2-2vvo+vo2)/2ª
∆x=(2vov-2vo2
+v2-2vvo+vo2)/2ª
2a∆x=v2-vo2
V2=vo2+2a∆x Relação velocidade e
deslocamento
Exercício A1.5 - Um móvel realiza um
m.r.u.v. regido pela função horária: x=3+2t-t2 (SI). Determine:
a) A posição inicial, a velocidade
inicial e a aceleração.
b) A equação das velocidades
deste movimento.
c) A posição e a velocidade
do móvel no instante 2s.
d) O instante em que o móvel
inverte o sentido do movimento.
Resolução
a) xo=3m
vo=2m/s
a=-2m/s2
b) Dados Fórmula Resolução
v=? v=vo+at v=2-2t (SI)
vo=2m/s
a=-2m/s2
R: A equação das velocidades deste movimento é v=2-2t (SI)
c)
A posição
Dados Fórmula Resolução
x=? x=xo+vot+1/2at2 x=3m+2m/s.2s+1/2(-2m/s2).(2s)2
t=2s x=3m+4m-4m
xo=3m x=3m
vo=2m/s
a=-2m/s2
R: A posição do móvel no instante 2s é de 3m.
A velocidade
Dados Fórmula Resolução
v=? v=vo+at v=2m/s+(-2m/s2).2s
vo=2m/s v=2m/s+(-4m/s)
a=-2m/s2 v=2m/s-4m/s
t=2s v=-2m/s
R: A
velocidade do móvel no instante 2s é
de -2m/s
d) Dados Fórmula Resolução
t=? x=3+2t-t2 0=3+2t-t2
x=0 de t1,2=[-b±[√b2-4ac]/2a
t1,2=[-2±[√22-4.(-1).3]/2(-1)
t1,2=[-2±[√4+12]/(-2)
t1,2=(-2±√16)/(-2)
t1,2=(-2±4)/(-2)
t1=(-2+4)/(-2)=2/(-2)=-1s
t2=(-2-4)/(-2)=-6/(-2)=3s
R: Como o tempo não pode ser negativo, então, o móvel
inverte o sentido do movimento no instante t=3s
Frase para pensar: “Você não pode provar uma definição. O que você pode fazer é mostrar que ela faz sentido.”
Lição Nº
Sumário: Generalidades sobre
o movimento mecânico.
-
Exercícios
Referencial e Posição
Referencia – é
o sistema de coordenadas cartesianas em relação ao qual é definida a posição.
Tem uma origem, que é o ponto a partida do qual se medem todas as coordenadas e
tem uma escala que serve para marcar as distâncias relativamente a essa origem.
Por exemplo: na sala de
aula, um aluno sentado à esquerda do outro encontra-se 0,5m à
sua esquerda, num referencial definido com origem neste último.
A definição de referencial é
tão importante que o mesmo objecto pode estar ou não em repouso, consoante o
referencial escolhido. O aluno escolhido está em repouso? Em qualquer
referencial definido na superfície da terra podemos dizer que sim, mas fora da
terra, não.
Posição: é
o conjunto de coordenadas cartesianas (x, y e z) que permitem localizar
o corpo num determinado referencial.
Movimento
A terra e tudo o que ela
contém, está em movimento, em torno do seu eixo, em redor do Sol, que por sua
vez gira em volta da Via Láctea. A classificação e comparação de movimento
requer muitas vezes que simplifiquemos e consideremos os movimentos a serem
realizados num referencial em repouso na Terra, embora se saiba que ela não se
encontra em repouso no universo.
A forma como o movimento é
descrito depende do observador. Os estados de repouso ou movimento são
conceitos relativos.
O Movimento pode ser de
Translação ou de Rotação.
Um
corpo tem Movimento de Translação quando qualquer segmento de
recta que una dois pontos do corpo se desloca mantendo-se paralelo a si mesmo.
A translação pode ser Rectilínea ou Curvilínea.
Um
corpo tem Movimento de Rotação quando dois ou mais pontos
do corpo mantêm posições fixas definindo o eixo de rotação.
Partícula Material
Uma partícula material é uma partícula cuja posição pode ser
representada por um único ponto num referencial.
Trajectória
A
trajectória é a sequência de posições que o corpo vai
ocupando em instantes sucessivos num determinado referencial.
A trajectória pode ser:
- Curvilínea
– quando os pontos ocupados pela partícula ao longo do tempo definem uma
curva – circular, parabólica, etc.
- Rectilínea
– quando os pontos ocupados pela partícula ao longo do tempo definem uma
recta.
Exercício A1.1 – Considere a seguinte situação:
Um autocarro, move-se numa
estrada e existem duas pessoas que observam uma lâmpada acesa no tecto do
autocarro. A pessoa “A” está sentado fora do autocarro e a pessoa “B”
vai sentado no seu interior.
A pessoa “A” diz: “A
lâmpada está a mover-se uma vez que se está a afastar de mim”.
A pessoa “B” diz: “A
lâmpada não se move em relação a mim, uma vez que a distância que nos separa
permanece constante”.
Relativamente às afirmações,
pode dizer-se que:
- “A” está errada e “B” está
certa.
- “B” está errada e “A” está
certa.
- Ambas estão erradas.
- Cada uma, dentro do referencial definido
pelo observador, está correcta.
R: 4.
Espaço percorrido
É a medida de todo o
percurso efectuado ao longo da trajectória e, é uma grandeza escalar positiva.
Simboliza-se por ∆s e
obtém-se através da expressão: ∆s=s-so.
Onde so é a posição inicial e s é a posição final.
Deslocamento
É uma grandeza vectorial que
caracteriza a variação da posição de uma partícula, num dado intervalo de
tempo, ∆t com origem na posição inicial e extremidade
na posição final. Simboliza-se por ∆r e
obtém-se através da expressão: ∆r=r-ro
Módulo do vector
deslocamento
É igual a distância entre
dois pontos e recorre-se ao teorema de Pitágoras: |∆r|=√∆x2 + ∆y2
No movimento rectilíneo, o
deslocamento apresenta uma única coordenada ∆x=x-xo.
O valor do deslocamento de
uma partícula, num dado intervalo de tempo, pode ser:
- Positivo: quando a partícula desloca-se no sentido positivo da
trajectória (x>xo);
- Negativo: quando a partícula desloca-se no sentido negativo da
trajectória (x<xo);
- Nulo: quando a partícula desloca-se, mas regressa à posição
inicial.
Relação entre o deslocamento
e o espaço percorrido
Se um movimento poder ser
decomposto em n pequenos percursos
(∆ri) nos quais não ocorre alteração de direcção e de sentido
podendo dizer-se que:
∆s=∑||∆ri||=||∆r1||+||∆r2||+…+||∆rn||
Rapidez média
Indica qual a distancia
percorrida, em média, pela partícula na unidade de tempo. Obtém-se através da
seguinte expressão:
rm=∆s/∆t
Velocidade média
Indica o deslocamento
experimentado, em média, pela partícula na unidade de tempo. Obtém-se através
da seguinte expressão:
vm=∆r/∆t
Aceleração média
Permite medir a variação da
velocidade por intervalo de tempo. Obtém-se através da seguinte expressão:
am=∆v/∆t
Exercício A1.2 - Um observador de um
movimento escolheu um referencial de modo que num dado instante um carro se
encontrava na posição à 100m ao ponto escolhido para origem, medidas no sentido
positivo.
O carro move-se em linha
recta no sentido da origem, tendo chegado à 20m da origem, passando algum
tempo. Qual é o vector deslocamento?
Resolução
Dados Fórmula Resolução
∆x=? ∆x=x-xo ∆x=20m-100m
xo=100m ∆x=-80m
x=20m
R. O vector deslocamento é igual a -80m.
Exercício A1.3 - um Helicóptero
levantou voo, percorreu em linha recta 10km para norte, seguidamente 4km para
Leste e por fim 7km para Sul, tendo aterrado. Determine:
a) O Espaço percorrido.
b) O módulo do vector
deslocamento.
Resolução
a) Dados Fórmula Resolução
∆s=? ∆s=||∆r1||+||∆r2||+||∆r3|| ∆s=10km+4km+7km
||∆r1||=10km ∆s=21km
||∆r2||=4km
||∆r3||=7km
R: O
espaço percorrido pelo helicóptero é de 21km.
b)
Dados Fórmula Resolução
|∆r|=? |∆r|=√∆x2+∆y2 |∆r|=√(3km)2+(4km)2
∆x=3km |∆r|=√9km2+16km2
∆y=4km |∆r|=√25km2
|∆r|=5km
R: O
módulo do vector deslocamento é de 5km.
Frase para pensar: “Ninguém
se deve privar de aprender aquilo que não sabe” – Sócrates.
Muito bom esse Blog, faz algum tempo que procuro algo relacionado aos conteúdos de Física, que sejam bem explicados ou que tenha o máximo de informação possível.
ResponderEliminarMuito obrigado.
Muito boa essa página 😍
ResponderEliminarMuito conteúdo puro
ResponderEliminarValeu pelo conteúdo
ResponderEliminarTem livros de fisica por AQUI
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Tenho um exercício
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