Aulas de Física: Aulas 11ª Classe

Lição Nº

Sumário: - Movimento circular uniforme (m.c.u.).

- Movimento Circular e Uniformemente Variado (m.c.u.v.).

- Exercícios

Movimento Circular Uniforme

Uma partícula está em movimento circular uniforme num dado referencial quando se movimenta sobre uma circunferência com velocidade linear de módulo constante.

O vetor velocidade linear é sempre tangente à trajetória e varia continuamente porque sua direção varia.

Período e Frequência

Período (T) é o tempo levado pela partícula para percorrer uma vez a sua trajetória. É dado pela expressão:

T=1/f

Frequência (f) é o número de voltas dadas pela partícula na unidade de tempo. É dado pela expressão:

f=1/T

A unidade de frequência é chamada hertz e simbolizada por Hz: 1Hz = 1/s.

Velocidade Linear e Velocidade Angular

A velocidade linear da partícula, é definida como a distância percorrida sobre a trajetória dividida pelo intervalo de tempo levado para percorrê-la.

v=(2πR)/T

O vetor velocidade linear é sempre tangente à trajetória da partícula.

Se, consideramos o ângulo descrito pela linha que une a partícula ao centro da trajectória, podemos definir a velocidade angular.

O módulo da velocidade angular é dado pelo cociente do ângulo descrito (em radianos) pelo intervalo de tempo correspondente.

Assim:

ω=2π/T ou sendo que f=1/T, então ω=2πf

A unidade SI da velocidade angular é o radiano por segundo (rad/s)

A direção da velocidade angular é perpendicular ao plano da trajetória e o sentido é dado pela regra da mão direita: com os dedos da mão direita colocados ao longo da trajetória descrita pela partícula e na mesma direção do movimento, o polegar aponta o sentido da velocidade angular.

Comparando a expressão do módulo da velocidade linear com a expressão do módulo da velocidade angular, podemos escrever:

v= ωR

Aceleração Centrípeta

Pela primeira lei de Newton, se é nula a força resultante sobre uma partícula, ela está parada ou em movimento retilíneo uniforme num referencial inercial.

Como o vector v(t₂) é diferente do vector v(t₁), ou seja, como ∆v é diferente de zero, existe uma força resultante não nula sobre a partícula em MCU. Em outras palavras, existe uma aceleração.

Por outro lado, como o módulo do vector velocidade linear é constante, o vector aceleração não pode ter componente na direção do vector velocidade linear. Então, o vector aceleração da partícula, em qualquer instante de tempo, aponta para o centro da sua trajetória.

A aceleração centrípeta, é responsável pela variação da direcção da velocidade e é dada pela expressão:

a_c=v²/R ou seja, como v= ωR, então a_c=ω²R

logo, em cada instante do movimento circular e uniforme:

θ=θ_o+ωt e s=s_o+vt

Exercício A1.6 - Uma partícula, que executa 150rpm (rotações por minutos), descreve no sentido horário, uma trajectória circular de raio 20cm.

a) Determine para o movimento da partícula:

a.1) O Período.

a.2) A velocidade linear.

a.3) A velocidade angular.

a.4) A aceleração centrípeta.

b) Para o instante de tempo de 0,30s, calcule:

b.1) O comprimento do arco descrito pela partícula (variação do espaço).

b.2) O ângulo ao centro descrito pela partícula (variação do ângulo).

Resolução

A partícula está animada de m.c.u. porque a frequência, 150rpm é constante, logo a frequência é:

f=150/60 f=2,5Hz

O raio da trajectória é R=0,20m.

a.1) Dados Fórmula Resolução

T=? T=1/f T=1/2,5

f=2,5Hz T=0,40s

R: O período do movimento da partícula é de 0,40s

a.2) Dados Fórmula Resolução

v=? v=2πRf v=2.3,14.0,20.2,5

R=0,20m v=6,28.0,5

f=2,5Hz v=3,14m/s

π=3,14

R: A velocidade linear da partícula é de 3,14m/s.

a.3) Dados Fórmula Resolução

ω=? ω=2πf ω=2π.2,5

f=2,5Hz ω=5π

π=3,14 ω=5πrad/s

R: Como a partícula descreve atrajectória em sentido horário, o vector velocidade angular tem o sentido descendente e consequentemente de valor negativo. Então, o valor da velocidade angular do movimento da partícula é igual a -5πrad/s.

a.4) Dados Fórmula Resolução

a_c=? a_c=ω²R a_c=(-5π)².0,20

ω=-5πrad/s a_c=(-15,7)².0,20

R=0,20m a_c=246,49.0,20

a_c=49,298m/s²

R: A aceleração centrípeta do movimento da partícula é igual a 49,298m/s²

b) ∆t=0,30s

b.1) Dados Fórmula Resolução

∆s=? v=∆s/∆t ∆s=3,14m/s.0,30s

v=3,14m/s ∆s=v∆t ∆s=0,942m

∆t=0,30s

R: O comprimento do arco descrito pela partícula durante 0,30s é igual a 0,942m ou 94,2cm.

b.2) Dados Fórmula Resolução

∆θ=? ω=∆θ/∆t ∆θ=-5πrad/s.0,30s

ω=-5πrad/s ∆θ=ω.∆t ∆θ=-1,5πrad

∆t=0,30s

R: Como a partícula descreve a trajectória no sentido horário o ângulo ao centro descrito durante 0,30s apresenta um valor negativo e igual a -1,5πrad.

Movimento Circular e Uniformemente variado (m.c.u.v.)

O Movimento Circular e Uniformemente Variado (m.c.u.v.) é o movimento de uma partícula que descreve uma trajectória de raio R, cujo módulo da velocidade varia uniformemente com o tempo.

Neste movimento a aceleração, além da componente normal ou centrípeta, a_n, apresenta a componente tangencial, a_t, que varia em direcção, mas de módulo constante. Ou seja:

a_t=Constante

a_t=∆v/∆t

Então a velocidade linear é dada por:

v=v_o+a_tt

Para a aceleração angular, temos:

α= ∆ω/∆t

A unidade SI da aceleração angular é o radiano por segundo ao quadrado (rad/s²)

Então a velocidade angular é dada por:

ω=ω_o+αt

É de referir que, em cada instante, o módulo da componente normal, ou centrípeta da aceleração é:

a_n=v²/R ou a_n=ω²R

A relação entre a aceleração tangencial e a aceleração angular é:

a_t=αR

Como se trata de um movimento uniformemente variado, então:

s=s_o+v_ot+1/2a_tt² e

θ=θ_o+ω_ot+1/2αt²

O m.c.u.v., pode ser:

Movimento Circular e Uniformemente Acelerado (m.c.u.a.), quando verifica-se que a aceleração angular e a velocidade angular têm o mesmo sentido, pelo que o módulo desta aumenta, e que a componente tangencial da aceleração e a velocidade apresentam também o mesmo sentido, logo o módulo desta também aumenta.

A partícula desloca-se com o m.c.u.a.:

- No sentido anti-horário quando v > 0 e a_t >0, bem como α > 0 e ω > 0.

- No sentido horário do trajectória se v < 0 e a_t < 0 bem como ω < 0 e α < 0.

Movimento Circular e Uniformemente Retardado (m.c.u.r.), quando verifica-se que a aceleração angular e a velocidade angular têm sentidos opostos, pelo que o módulo desta diminui, e que a componente tangencial da aceleração e a velocidade apresentam também sentidos opostos, logo o módulo desta também diminui.

A partícula desloca-se com m.c.u.r.:

- No sentido anti-horário da trajectória quando v > 0 e a_t < 0 bem como ω > 0 e α < 0.

- No sentido horário da trajectória se v < 0 e a_t > 0 bem como ω < 0 e α > 0.

Exercício A1.7 - Uma partícula descreve uma circunferência de raio 2m. A posição angular da partícula é dada por: θ=4-2t+2t². Determine:

a) O valor da:

a.1) Posição angular inicial;

a.2) Velocidade angular inicial;

a.3) Aceleração angular da partícula.

b) Os valores das:

b.1) Componentes tangencial;

b.2) Normal da aceleração.

Resolução

a) R: A expressão que relaciona a posição angular de uma partícula animada de m.c.u.v. com o tempo é:

θ=θ_o+ω_ot+1/2αt² Comparando esta expressão geral com

θ=4-2t+2t², temos:

a.1) R: θ_o = 4rad

a.2) R: ω_o = -2rad/s

a.3) 1/2α = 2 Û R: α = 4rad/s²

b.1) Componente Tangencial da aceleração

Dados Fórmula Resolução

a_t = ? a_t = α.R a_t = 4.2

α = 4rad/s² a_t = 8m/s²

R = 2m

R: O valor da componente tangencial da aceleração é de 8m/s²

b.2) Componente Tangencial da aceleração – como a_n=ω²R, precisamos de determinar ω, quando t=1s.

Dados Fórmula Resolução

ω=? ω=ω_o+αt ω=-2rad/s+4rad/s².1s

ω_o=-2rad/s ω=-2rad/s+4rad/s

α = 4rad/s² ω=2rad/s

R: A velocidade angular final é de 2rad/s

Dados Fórmula Resolução

a_n=? a_n=ω²R a_n=2².2

ω=2rad/s a_n=4.2

R=2m a_n=8m/s²

R: O valor da componente normal da aceleração é de 8m/s²

Lição Nº

Sumário: Breve revisão do movimento rectilíneo e uniforme (m.r.u.).

- Movimento rectilíneo e uniformemente variado (m.r.u.v).

- Exercícios

Movimento Rectilíneo e Uniforme (m.r.u.)

No m.r.u., todo o movimento pode ser definido apenas num eixo, pelo que, podemos caracterizar a velocidade como sendo:

v=∆x/∆t

Equações das posições

No m.r.u. a equação das posições é apresentada como uma equação do tipo:

x=x(t) De v=∆x/∆t

Temos: v∆t=∆x ou ∆x=v∆t,

como x-x_o=∆x,

então: x-x_o=v∆t ou seja x=x_o+v∆t Lei Geral

como ∆t=t-t_o e se t_o=0s,

então x=x_o+vt Lei das posições

e se x_o=0m, logo, x=vt

No m.r.u. as partículas podem deslocar-se no sentido positivo (v>0) ou negativo (v<0) da trajectória.

Exercício A1.4 - Dois automóveis A e B deslocam-se em uma estrada rectilinea. As equações do seu movimento são:

x_A=2,75t (SI)

x_B=37,5-2,25t (SI)

a) Indique, justificando, qual o sentido em que se desloca o automóvel A e B.

b) Calcule em que instante os dois automóveis se encontram.

c) Determine a distância que separa o automóvel A do B, no fim de 5,25s de movimento.

Resolução

a) Como o sentido do movimento é dado pelo sinal da velocidade, e trata-se do m.r.u., então x=x_o+vt, das equações das posições do automóvel A v_A=2,75m/s e do B v_B=-2,25m/s, logo o automóvel A desloca-se no sentido positivo da trajectória, pois v_A>0 e o automóvel B desloca-se no sentido negativo da trajectória, pois v_B<0.

b) O instante em que os dois automóveis se encontram é no instante em que x_A=x_B, então:

Dados Fórmula Resolução

X_A=2,75t x_A=x_B 2,75t=37,5-2,25t

x_B=37,5-2,25t 2,75t+2,25t=37,5

t=? 5t=37,5

t=37,5/5

t=7,5s

R: Os dois autocarros encontram-se ao fim de 7,5s

c) Dados F/R Dados F/R

x_A=? X_A=2,75t x_B=? x_B=37,5-2,25t

t=5,25s X_A=2,75.5,25 t=5,25s x_B=37,5-2,25.5,25

x_A=14,4m x_B=37,5-11,8

x_B=25,7m

Dados F/R

x_A=14,4m d=|x_A-x_B|

x_B=25,7m d=|14,4m-25,7m|

d=? d=|-11,3m|

d=11,3m

R: A distância que ao fim de 5,25s de movimento separa o automóvel A e B é de 11,3m.

Movimento Rectilíneo e Uniformemente Variada (m.r.u.v.)

O movimento rectilíneo uniformemente variado (m.r.u.v.), é um movimento em linha recta, cuja velocidade varia de maneira uniforme. No caso em que a velocidade aumenta, dizemos que acelera, e em caso de quedas, desacelera (ou que tem aceleração negativa).

A aceleração é a taxa de mudança de velocidade. Ele pode ser positivo ou negativo. Para encontrar o valor da aceleração, simplesmente utilizar a seguinte equação:

a=∆v/∆t ou a=(v_f-v_o)/(t_f-t_o)

A unidade SI da aceleração é metro por segundo ao quadrado (m/s²ou m.s^-2)

O m.r.u.v., pode ser:

- Movimento Rectilíneo e Uniformemente Acelerado (m.r.u.a.): quando a aceleração e a velocidade têm o mesmo sentido, a velocidade da partícula aumenta;

- Movimento Rectilíneo e Uniformemente Retardado (m.r.u.r.): quando a aceleração e a velocidade têm sentidos opostos, a velocidade da partícula diminui.

Equações das Velocidades

No m.r.u.v., a equação das velocidades é dada como uma equação do tipo:

v=v(t)

De a=∆v/∆t, temos

a=(v-v_o)/ ∆t

a∆t= v-v_o

v_o+a∆t=v

v= v_o+a∆t Lei Geral

Como ∆t=t-t_o e se t_o=0s, então

v= v_o+at Lei das velocidade

se vo=0m/s, logo

v= +at

Equação das posições

Para se obter a equação das posições parte-se da expressão

∆x=[(v_o+v)/2]∆t se t_o=0s

∆x=[(v_o+v)/2]t Como é m.r.u.v. e v=v_oat, entáo

∆x=[(v_o+v_o+at)/2]t

∆x=[(2v_o+at)/2]t

∆x=v_ot+1/2at²

x-x_o=v_ot+1/2at²

x=x_o+v_ot+1/2at² Equação das posições

Relação entre a velocidade e o deslocamento no m.r.u.v.

Das equações v=f(t) e x=f(t), eliminando o t, obtém-se uma expressão que para qualquer instante relaciona a velocidade e o deslocamento.

De x=x_o+v_ot+1/2at² e de v= v_o+a∆t onde t=(v-v_o)/a

Substituindo t na equação x=f(t), tem-se:

∆x=v_o[(v-v_o)/a]+1/2a[(v-v_o)/a]²

∆x=(v_ov-v_o²)/a+1/2a[(v²-2vv_o+v_o²)/a²]

∆x=(v_ov-v_o²)/a+(v²-2vv_o+v_o²)/2ª

∆x=(2v_ov-2v_o² +v²-2vv_o+v_o²)/2ª

2a∆x=v²-v_o²

V²=v_o²+2a∆x Relação velocidade e deslocamento

Exercício A1.5 - Um móvel realiza um m.r.u.v. regido pela função horária: x=3+2t-t2 (SI). Determine:

a) A posição inicial, a velocidade inicial e a aceleração.

b) A equação das velocidades deste movimento.

c) A posição e a velocidade do móvel no instante 2s.

d) O instante em que o móvel inverte o sentido do movimento.

Resolução

a) x_o=3m

v_o=2m/s

a=-2m/s²

b) Dados Fórmula Resolução

v=? v=v_o+at v=2-2t (SI)

v_o=2m/s

a=-2m/s²

R: A equação das velocidades deste movimento é v=2-2t (SI)

A posição

Dados Fórmula Resolução

x=? x=x_o+v_ot+1/2at² x=3m+2m/s.2s+1/2(-2m/s²).(2s)²

t=2s x=3m+4m-4m

x_o=3m x=3m

v_o=2m/s

a=-2m/s²

R: A posição do móvel no instante 2s é de 3m.

A velocidade

Dados Fórmula Resolução

v=? v=v_o+at v=2m/s+(-2m/s²).2s

v_o=2m/s v=2m/s+(-4m/s)

a=-2m/s² v=2m/s-4m/s

t=2s v=-2m/s

R: A velocidade do móvel no instante 2s é de -2m/s

d) Dados Fórmula Resolução

t=? x=3+2t-t² 0=3+2t-t2

x=0 de t_1,2=[-b±[√b2-4ac]/2a

t_1,2=[-2±[√22-4.(-1).3]/2(-1)

t_1,2=[-2±[√4+12]/(-2)

t_1,2=(-2±√16)/(-2)

t_1,2=(-2±4)/(-2)

t₁=(-2+4)/(-2)=2/(-2)=-1s

t₂=(-2-4)/(-2)=-6/(-2)=3s

R: Como o tempo não pode ser negativo, então, o móvel inverte o sentido do movimento no instante t=3s

Frase para pensar: “Você não pode provar uma definição. O que você pode fazer é mostrar que ela faz sentido.”

Lição Nº

Sumário: Generalidades sobre o movimento mecânico.

- Exercícios

Referencial e Posição

Referencia – é o sistema de coordenadas cartesianas em relação ao qual é definida a posição. Tem uma origem, que é o ponto a partida do qual se medem todas as coordenadas e tem uma escala que serve para marcar as distâncias relativamente a essa origem.

Por exemplo: na sala de aula, um aluno sentado à esquerda do outro encontra-se 0,5m à sua esquerda, num referencial definido com origem neste último.

A definição de referencial é tão importante que o mesmo objecto pode estar ou não em repouso, consoante o referencial escolhido. O aluno escolhido está em repouso? Em qualquer referencial definido na superfície da terra podemos dizer que sim, mas fora da terra, não.

Posição: é o conjunto de coordenadas cartesianas (x, y e z) que permitem localizar o corpo num determinado referencial.

Movimento

A terra e tudo o que ela contém, está em movimento, em torno do seu eixo, em redor do Sol, que por sua vez gira em volta da Via Láctea. A classificação e comparação de movimento requer muitas vezes que simplifiquemos e consideremos os movimentos a serem realizados num referencial em repouso na Terra, embora se saiba que ela não se encontra em repouso no universo.

A forma como o movimento é descrito depende do observador. Os estados de repouso ou movimento são conceitos relativos.

O Movimento pode ser de Translação ou de Rotação.

Um corpo tem Movimento de Translação quando qualquer segmento de recta que una dois pontos do corpo se desloca mantendo-se paralelo a si mesmo. A translação pode ser Rectilínea ou Curvilínea.

Um corpo tem Movimento de Rotação quando dois ou mais pontos do corpo mantêm posições fixas definindo o eixo de rotação.

Partícula Material

Uma partícula material é uma partícula cuja posição pode ser representada por um único ponto num referencial.

Trajectória

A trajectória é a sequência de posições que o corpo vai ocupando em instantes sucessivos num determinado referencial.

A trajectória pode ser:

Curvilínea – quando os pontos ocupados pela partícula ao longo do tempo definem uma curva – circular, parabólica, etc.
Rectilínea – quando os pontos ocupados pela partícula ao longo do tempo definem uma recta.

Exercício A1.1 – Considere a seguinte situação:

Um autocarro, move-se numa estrada e existem duas pessoas que observam uma lâmpada acesa no tecto do autocarro. A pessoa “A” está sentado fora do autocarro e a pessoa “B” vai sentado no seu interior.

A pessoa “A” diz: “A lâmpada está a mover-se uma vez que se está a afastar de mim”.

A pessoa “B” diz: “A lâmpada não se move em relação a mim, uma vez que a distância que nos separa permanece constante”.

Relativamente às afirmações, pode dizer-se que:

“A” está errada e “B” está certa.
“B” está errada e “A” está certa.
Ambas estão erradas.
Cada uma, dentro do referencial definido pelo observador, está correcta.

R: 4.

Espaço percorrido

É a medida de todo o percurso efectuado ao longo da trajectória e, é uma grandeza escalar positiva. Simboliza-se por ∆s e obtém-se através da expressão: ∆s=s-s_o. Onde s_o é a posição inicial e s é a posição final.

Deslocamento

É uma grandeza vectorial que caracteriza a variação da posição de uma partícula, num dado intervalo de tempo, ∆t com origem na posição inicial e extremidade na posição final. Simboliza-se por ∆r e obtém-se através da expressão: ∆r=r-r_o

Módulo do vector deslocamento

É igual a distância entre dois pontos e recorre-se ao teorema de Pitágoras: |∆r|=√∆x² + ∆y²

No movimento rectilíneo, o deslocamento apresenta uma única coordenada ∆x=x-x_o.

O valor do deslocamento de uma partícula, num dado intervalo de tempo, pode ser:

- Positivo: quando a partícula desloca-se no sentido positivo da trajectória (x>x_o);

- Negativo: quando a partícula desloca-se no sentido negativo da trajectória (x<x_o);

- Nulo: quando a partícula desloca-se, mas regressa à posição inicial.

Relação entre o deslocamento e o espaço percorrido

Se um movimento poder ser decomposto em n pequenos percursos (∆r_i) nos quais não ocorre alteração de direcção e de sentido podendo dizer-se que:

∆s=∑||∆r_i||=||∆r₁||+||∆r₂||+…+||∆r_n||

Rapidez média

Indica qual a distancia percorrida, em média, pela partícula na unidade de tempo. Obtém-se através da seguinte expressão:

r_m=∆s/∆t

Velocidade média

Indica o deslocamento experimentado, em média, pela partícula na unidade de tempo. Obtém-se através da seguinte expressão:

v_m=∆r/∆t

Aceleração média

Permite medir a variação da velocidade por intervalo de tempo. Obtém-se através da seguinte expressão:

a_m=∆v/∆t

Exercício A1.2 - Um observador de um movimento escolheu um referencial de modo que num dado instante um carro se encontrava na posição à 100m ao ponto escolhido para origem, medidas no sentido positivo.

O carro move-se em linha recta no sentido da origem, tendo chegado à 20m da origem, passando algum tempo. Qual é o vector deslocamento?

Resolução

Dados Fórmula Resolução

∆x=? ∆x=x-x_o ∆x=20m-100m

x_o=100m ∆x=-80m

x=20m

R. O vector deslocamento é igual a -80m.

Exercício A1.3 - um Helicóptero levantou voo, percorreu em linha recta 10km para norte, seguidamente 4km para Leste e por fim 7km para Sul, tendo aterrado. Determine:

a) O Espaço percorrido.

b) O módulo do vector deslocamento.

Resolução

a) Dados Fórmula Resolução

∆s=? ∆s=||∆r₁||+||∆r₂||+||∆r₃|| ∆s=10km+4km+7km

||∆r₁||=10km ∆s=21km

||∆r₂||=4km

||∆r₃||=7km

R: O espaço percorrido pelo helicóptero é de 21km.

b) Dados Fórmula Resolução

|∆r|=? |∆r|=√∆x²+∆y² |∆r|=√(3km)²+(4km)²

∆x=3km |∆r|=√9km²+16km²

∆y=4km |∆r|=√25km²

|∆r|=5km

R: O módulo do vector deslocamento é de 5km.

Frase para pensar: “Ninguém se deve privar de aprender aquilo que não sabe” – Sócrates.

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