Aulas 12ª Classe




Lição Nº
Sumário:       Princípio da relatividade de Einstein.
                        - Relatividade restrita e Teoria Geral da Relatividade.
- Exercícios


Relatividade de Einstein

A relatividade de Einstein é constituída por duas teorias bem diferentes:
- A Relatividade Especial ou Teoria da Relatividade Restrita e
- A Teoria Geral da Relatividade.

Relatividade Especial ou Teoria da Relatividade Restrita

As leis que governam as mudanças de estado em quaisquer sistemas físicos tomam a mesma forma em quaisquer sistemas de coordenadas inerciais. Esta teoria diz respeito à comparação de movimentos observados em referenciais inerciais diferentes que estejam a mover-se com velocidade constante uns em relação aos outros.
Nas palavras de Einstein:

"...existem sistemas cartesianos de coordenadas - os chamados sistemas de inércia - relativamente aos quais as leis da física se apresentam com a forma mais simples. Podemos assim admitir a validade da seguinte proposição: se K é um sistema de inércia, qualquer outro sistema K' em movimento de translação uniforme relativamente a K, é também um sistema de inércia."

 Teoria Geral da Relatividade

A luz tem velocidade invariante igual a c em relação a qualquer sistema de coordenadas inercial. Esta teoria diz respeito por um lado, a referenciais acelerados e à força da gravidade.

A velocidade da luz no vácuo é a mesma para todos os observadores em referenciais inerciais e não depende da velocidade da fonte que está emitindo a luz nem tampouco do observador que a está medindo. A luz não requer qualquer meio (como o éter) para se propagar.

Simultaneidade de Acontecimentos
Dois acontecimentos num dado referencial são simultâneos se sinais luminosos emitidos no momento em que eles ocorrem atingem ao mesmo tempo um observador, nesse referencial, situado a meia distância entre os acontecimentos.

Relatividade da simultaneidade 
É um conceito na relatividade especial, na qual se definem como simultâneos dois eventos em um referencial inercial se a luz  (visível ou qualquer radiação electromagnética) emitida por esses eventos for simultaneamente observada por um observador situado em um ponto equidistante à posição dos dois eventos.

Desta definição, resulta que em relatividade especial, dois eventos simultâneos em relação a um determinado referencial inercial não serão simultâneos em relação a qualquer outro referencial que esteja em movimento em relação ao primeiro.

Ou, em outras palavras: Dois eventos que são simultâneos em um referencial não são simultâneos em nenhum outro referencial inercial que esteja em movimento em relação ao primeiro.



Dois acontecimentos nos pontos A e B dão-se ao mesmo tempo no sistema K1 (sistema de referência, ligado à nave) e em instantes diferentes no sistema K (sistema de referência, em relação ao qual a nave se move). Mas de acordo com o princípio da relatividade os sistemas K1 e K são equivalentes. A nenhum destes sistemas se pode dar preferência. Por isso, concluímos que a simultaneidade dos acontecimentos em pontos distintos do espaço é relativa.

Dilatação do tempo
O intervalo de tempo medido num referencial em movimento relativamente ao referencial em que o acontecimento se encontra em repouso. É dado pela expressão: 

∆t = g∆t´     onde   g = 1/√(1-v2/c2)            e          g > 1

∆t´ (intervalo de tempo) entre dois acontecimentos medidos no referencial em que esses acontecimentos ocorrem no mesmo lugar é designado por tempo próprio∆tp

Exercício A1.8 – Dois astronautas que se encontram numa nave espacial, viajando a uma velocidade de 0,80c em relação a terra, enviam uma mensagem ao controla da missão dizendo que vão descansar durante 1,0h  e que depois voltarão a entrar em contacto. Quanto tempo permanecerão sem comunicar para os controladores em terra?

Resolução:
Dados                                         F/R
v = 0,80c                     ∆t = g∆t´                      g = 1/√(1-v2/c2)
∆tp = 1,0h                     ∆t = 1,7.1,0h                 g = 1/√(1-(0,80c)2/c2)
∆t = ?                           ∆t = 1,7h                      g = 1,7
                                    ∆t = 1,7.3600s
                                    ∆t = 1h e 42seg

R: Os astronautas permanecerão, portanto, sem comunicar para os controladores en terra durante 1h e 42 seg.

Contracção do espaço
O comprimento próprio, Lp, é o comprimento de um objecto medido no referencial no qual o objecto se encontra em repouso. E é dado pela expressão:
 Lp = x2 – x1.

Se medirmos o seu comprimento, L, num referencial que se desloca com velocidade, v relativamente ao outro, o seu comprimento, contracção do espaço é dado por:
            L = (1/g)LP   onde   g = 1/√(1-v2/c2)      então  L = Lp /√(1-v2/c2)

Nota # o comprimento de um objecto é menor quando é medido num referencial no qual o objecto se encontra em movimento.

Exercício A1.9  – Uma régua com  de 1,00m comprimento próprio move-se paralelamente a sua maior dimensão com uma velocidade de 0,57c em relação a um observador. Determine o comprimento medido pelo observador.

Resolução:
 Dados                                               F/R
v = 0,57c                      L = Lp /√(1-v2/c2)
Lp = 1,00m                    L = 1,00m.√(1-(0,57c)2/c2
L = ?                             L = 1,00m.0,82
                                    L = 0,82m

R: = comprimento medido pelo observador é de 0,82m.




Lição Nº
Sumário:        - Movimento Relativo.
                        - Princípio de Relatividade de Galileu.
 - Exercícios

Os conceitos de movimento e repouso são relativos cuja descrição depende de um referencial específico escolhido pelo observador, daí a necessidade de se fixar um sistema de referência para falar de movimentos e indicá-los sempre que se pretenda falar desse movimento.

Referencial de Inércia
Um referencial de inércia é aquele em que se verifica a lei da inércia, onde um corpo ou se encontra em repouso, ou se move com velocidade constante.
           FR=åFExt=0  

Newton definiu referencial de inércia como um sistema que não tem movimento acelerado em relação as estrelas fixas, tomando assim como referencial de inércia base aquele que tem o seu centro no Sol e cujos eixos passam por três estrelas fixas. Este referencial é conhecido por referencial de Kepler ou referencial inercial base de Niwton.


O Sol não é portanto exactamente um referencial de inércia, pois tem aceleração. O mesmo se verifica com a Terra (o valor da aceleração da Terra em torno do Sol é de 6,0x10-3m.s-2 e em torno do seu eixo é de 3,4x10-2m.s-2) e com todos os corpos do universo.

Diferentes observadores usando sistemas referenciais diferentes obtêm diferentes descrições de um mesmo movimento. Um referencial é escolhido de modo a facilitar a descrição do movimento do objecto que se pretende estudar. Exemplos:
- Movimentos na Terra: referenciais ligados à Terra;
- Astronomia: referenciais em estrelas que se podem considerar imóveis (“estrelas fixas”)
- física atómica : referencial no núcleo atómico (os electrões são muito mais leves que o núcleo podendo-se considerar que a posição nuclear é fixa relativamente aos electrões)

Espaço Absoluto
É um espaço independente dos referenciais, espaço que existiria para além dos corpos e no qual um referencial fixo seria um referencial inercial absoluto.

Tempo Absoluto
Tempo independente do espaço absoluto, isto é, igual em todos os referenciais.
Por não existir espaço absoluto e tempo absoluto, os referenciais de inércia que adoptamos são relativos a cada fenómeno, isto é, um referencial pode ser considerado de inércia para um certo fenómeno e não o ser para um outro fenómeno.

Princípio da Relatividade de Galileu
As leis da mecânica são as mesmas em qualquer referencial inercial.
Duas partículas P Q, se movem relativamente a um mesmo referencial de inércia, onde rP o vector de posição de P em relação ao referencial SrQ o vector de posição de Q em relação ao mesmo referencial e rP/Q o vector de posição de P relativamente a Q, então:  rP= rQ + rP/Q ou rP/Q= rP- rQ.

Derivando em ordem ao tempo tem-se:  




então 




Ou seja, a velocidade da partícula P, relativamente à partícula Q é igual à diferença entre as velocidades das duas partículas relativamente ao referencial considerado.

Derivando em ordem ao tempo a velocidade, tem-se a aceleração:
                

                        

Então

                                   

Ou seja, a aceleração da partícula P, relativamente à partícula Q é igual à diferença entre as acelerações das duas partículas relativamente ao referencial considerado.

Exercício A1.7 – Dois comboios A e B, deslocam-se em vias-férreas rectilíneas e paralelas com as velocidades constantes de 20m/s e 25m/s respectivamente. Determine a velocidade do Comboio B relativamente ao comboio A, quando:
a)    Se movem no mesmo sentido;
b)    Se movem em sentidos contrários.


Resolução:
a)     
            Dados                                      Fórmula                         Resolução

         vA=20m/s                     vB/A = vB - vA         vB/A =25m/s – 20m/s
         vB=25m/s                                                      vB/A =5m/s
         vB/A=?
                                                  

R: A velocidade do Comboio  B  relativamente ao Comboio  A, quando se movem no mesmo sentido, é de 5m/s.

b)     
            Dados                                        Fórmula                       Resolução
            vA=-20m/s                    vB/A = vB - vA         vB/A =25m/s – (-20m/s)
          vB=25m/s                                                       vB/A =25m/s + 20m/s
          vB/A=?                                                            vB/A =45m/s          

                       
R: A velocidade do Comboio B relativamente ao Comboio A, quando se movem em sentido contrário, é de 45m/s.




Lição Nº
Sumário:       - Componente normal e tangencial do vector aceleração.
                       - Exercícios

No movimento circular, a aceleração apresenta duas componentes: uma componente na direcção tangente à curva, designada por aceleração tangencial e uma componente que é perpendicular à aceleração tangencial, dirigida para o centro da circunferência e que é designada de aceleração normal ou aceleração centrípeta ou ainda de aceleração central.


 Onde os valores das componentes normais e tangenciais são obtidas respectivamente pelas seguintes expressões:
            an = asenθ   e          at = acosθ    então             a=an + at

A componente tangencial da aceleração é a responsável pela variação do valor da velocidade num determinado intervalo de tempo e é caracterizada por possuir o sentido do vector velocidade, se o valor da velocidade aumentar, e o sentido contrário ao do vector velocidade, se o valor da velocidade diminuir.

A componente normal da aceleração é a responsável pela variação da direcção do vector velocidade num dado intervalo de tempo. Apresenta sentido dirigido para o centro da circunferência. Esta componente é perpendicular ao vector velocidade.

Exercício A1.6 - Uma partícula realiza um movimento circular com uma aceleração de 25m.s2 e o ângulo da aceleração com a tangente é de 45º. Determine:
a) A aceleração normal da partícula.
b) A aceleração tangencial da partícula.
  

Resolução
            a) Dados                              Fórmula                              Resolução
             an=?                     an=acosα                      an=25m.s-2.cos35º
              a=25m.s-2                                                 an=25m.s-2.0,819
                 α=35º                                                       an=20,47 m.s-2

R: A aceleração normal da partícula é de 20,47m.s-2


            b) Dados                          Fórmula                                  Resolução

            at=?                      at=a.senα                     an=25m.s-2.sen35º
            a=25m.s-2                                                 an=25m.s-2.0,574
                α=35º                                                       an=14,35 m.s-2



 R: A aceleração tangencial da partícula  é de 14,35m.s-2






Lição Nº
Sumário:       Movimento de um projéctil.
                       - Lançamento Horizontal e Oblíquo.
- Exercícios



O movimento de um projéctil é o movimento de qualquer partícula que é lançada ao ar na qual actua uma força gravítica, Fg, constante e desprezável a resistência do ar.

Para estudar o movimento do projécteis, temos de considerar que:
1. O projéctil é suficientemente pequeno, quando comparado com a distancia percorrida, para que possa ser considerado uma partícula material.
2. O valor da velocidade, é suficientemente pequeno para que se possa desprezar a resistência do ar.
3. O deslocamento do projéctil é efectuado próximo da terra para que se possa considerar constante a aceleração da gravidade.
O lançamento de um projéctil pode ser: Vertical, Horizontal ou Oblíquo.
Considerando como sentido positivo da trajectória o sentido de baixo para cima, a aceleração do movimento do projéctil é: a=-g. e as equações do movimento são:

Equações Escalares
Equação das posições:                 y=yo+vot-1/2gt2
Equação das velocidades:            v=vo-gt
Equação que relaciona a velocidade e o deslocamento:
                                                          v2=vo2-2g∆y

Equações Vectoriais:
Equação das posições:                  r=ro+vot-1/2gt2
Equação das velocidades           v=vo-gt


Exercício A1.3 – um projéctil é lançado com velocidade inicial de 150m/s, por um canhão situado 25m acima do solo tendo feito a trajectória durante 1,6s.
a) Determine a velocidade ao atingir o solo.
b) Qual será a posição do projéctil, depois de 0,8s de trajectória?
  
Resolução
a)        Dados                        Fórmula                    Resolução
            v=?                      v=vo-gt                v=150m/s-10m/s2.1,6s
         vo=150m/s                                       v=150m/s-16m/s
         t=1,6s                                                         v=134m/s
         g=10m/s2

                        R: A velocidade do projéctil ao atingir o solo é de 134m/s.


b) Dados           Fórmula                    Resolução
y=?             y=yo+vot-1/2gt2    y=25m+150m/s.0,8s-1/2.10m/s2.(0,8s)2
yo=25m                                   y=25m+120m-5m/s2.0,64s2
vo=150m/s                              y=145m-3,2m
t=0,8s                                      y=141,8m
g=10m/s2

            R: A posição do projectile, depois de 0,8s de trajectória é de 141,8m.


Lançamento Horizontal
O lançamento horizontal de projécteis é o caso particular em que o ângulo de lançamento é α=0o. No referencial escolhido, a velocidade inicial, será dada por vo=voxx, pois voy=0, desprezando a resistência do ar, a sua trajectória é parabólica, tendo o vector posição a forma:
                        r=voxt-1/2gt2



O vector posição permite obter:
ü  As equações de velocidade
vx=v0x
vy=voy-gt      como voy=0, então vy=-gt, logo v= vx+ vy
                           ou seja, v= v0x-gt

ü  As equações das posições
x=voxt
y=yo+vot-1/2gt2     como yo=0m e voy=0m/s, então y=-1/2gt2

ü  A equação da trajectória
y=-(g/2v2ox).x2

ü  A equação do tempo de voo
t=√2yo/g


Exercício A1.4 – Vamos supor que um avião que se desloca a uma altitude de 320m com velocidade de 50m/s, lança horizontalmente um pacote com a velocidade de 50m/s.
a) Quanto tempo fica o pacote no ar?
 b) Qual é o seu alcance?
c) Qual é o valor da componente vertical da velocidade quando atinge o solo?
d) Qual a sua velocidade neste instante?

Resolução
a)        Dados                        Fórmula                    Resolução
         t=?                       t=√(2yo)/g           t=√(2.320m)/10m/s2
         yo=320m                                          t=√640m/10m/s2
         g=10m/s2                                         t=√64s2
                                                                  t=8s

                        R: O pacote fica no ar durante 8s.


b)        Dados                         Fórmula                    Resolução
         x=?                      x=voxt                  x=50m/s.8s
         vox=50m/s                                        x=400m
         t=8s

                        R: O alcance máximo do pacote é de 400m.


c)         Dados                          Fórmula                    Resolução
         vy=?                     vy=-gt                  vy=-10m/s2.8s
         t=8s                                                  vy=-80m/s
         g=10m/s2

R: O valor da componente vertical da velocidade quando o pacote atinge o solo é de 80m/s. O sinal negativo indica que a velocidade vertical do pacote tem sentido contrário ao do eixo vertical do referencial.


d)        Dados                         Fórmula                    Resolução
         v=?                      v=vox-gt               v=50m/s-10m/s2.8s
         vox=50m/s                                        v=50m/s-80m/s
         t=8s                                                  v=-30m/s
         g=10m/s2

R: O valor da sua velocidade neste instante é de 30m/s. o sinal negativo indica que tem sentido contrário ao eixo vertical do referencial.


Lançamento Oblíquo
O lançamento oblíquo de projécteis é o caso particular em que o ângulo de lançamento que faz com a horizontal é maior que zero (α>0). A trajectória do movimento continuando a desprezar a resistência do ar é parabólica.


Para estudar o lançamento oblíquo de um projéctil, deve-se ter em conta as seguintes expressões:

ü  Equações das posições
x=voxt                    Sendo            vox=vocosα   Então x=vocosα     
y=voy-1/2gt2                                  voy=vosenα              y=vosenα
 logo,           r=vocosαtx+(vosenα-1/2gt2)y


ü  Equação das velocidades
vx=vocosα                            Como                         v=vx+vy
vy=vosenα-1/2gt
Então             v= vocosαx+( vosenα-1/2gt)y

ü  Equação do tempo de subida
ts=voy/g        Como voy=vosenα, então ts=(vosenα)/g

ü  Equação da altura máxima
hmáx=yo+( vosenα)2/2g

ü  Equação do tempo de voo
tvoo=(2vosenα)/g

ü  Equação do alcance máximo horizontal
xmáx=(v2osen2α)/g

Exercício A1.5 – Um jogador de futebol chuta uma bola com velocidade inicial de módulo 26m/s num referencial fixo no campo. Essa velocidade faz um ângulo de 30o com a horizontal. Calcule:
a) A altura máxima que a bola atinge.
b) O tempo de voo.
c) O alcance máximo da bola.
d) A velocidade da bola ao atingir o solo.


Resolução
a) Dados             Fórmula                                Resolução
hmáx=?   hmáx=yo+( vosenα)2/2g     hmáx=0m+(26m/s.sen30o)/2.10m/s2
yo=0m                                              hmáx=0m+(26m/s.0,5)2/20m/s2
vo=26m/s                                         hmáx=0m+(13m/s)2/20m/s2
α=30o                                                hmáx=0m+(169m2/s2)/20m/s2
g=10m/s2                                         hmáx=0m+8,45m
                                                        hmáx=8,45m

                        R: A altura máxima que a bola atinge é de 8,45m.


b)        Dados                        Fórmula                    Resolução
         tvoo=?        tvoo=(2vosenα)/g   tvoo=(2.26m/s.sen30o)/10m/s2
         vo=26m/s                                tvoo=(52m/s.0,5)/10m/s2
         α=30o                                      tvoo=(26m/s)/10m/s2
         g=10m/s2                                tvoo=2,6s

                        R: O tempo de voo é de 2,6s.


c) Dados                   Fórmula                                Resolução
xmáx=?     xmáx=(v2osen2α)/g          xmáx=[(26m/s)2sen2.30o]/10m/s2
vo=26m/s                                         xmáx=(676m2/s2sen60o)/10m/s2
α=30o                                                xmáx=(676m2/s2.0,866)/10m/s2
g=10m/s2                                         xmáx=(780,6m2/s2)/10m/s2
                                                        xmáx=78,06m

                        R: O alcance máximo da bola é de 78,06m.


d) Dados       Fórmula                                Resolução
v=?    v= vocosα+( vosenα-1/2gt)      v=26.cos30o+(26.sen30o-1/2.10.2,6)
vo=26m/s                                         v=26.0,866+(26.0,5-5.2,6)
α=30o                                                v=22,5+(13-13)
g=10m/s2                                         v=22,5+0
t=2,6s                                               v=22,5m/s

            R: A velocidade da bola ao atingir o solo é de 22,5m/s

Frase para pensar: Você não pode provar uma definição. O que você pode fazer é mostrar que ela faz sentido.”
  



Lição Nº 
Sumário:       - Movimento curvilíneo de uma partícula actuada por uma força constante.
- Exercícios.

O movimento curvilíneo é identificado como o verdadeiro movimento de uma partícula, visto que as restrições unidimensionais não mais são evidenciadas. O movimento não é mais vinculado. Em geral as grandezas físicas envolvidas terão suas características plenas: velocidade, aceleração e força.
Geralmente na Natureza, o movimento de uma partícula será descrito por uma trajectória parabólica, como é característica do movimento curvilíneo sob acção da força gravitacional terrestre, e aqueles movimentos descrevendo trajectórias circulares estando sujeitos à acção da força centrípeta, que não é uma força externa, no sentido convencional, mas é uma característica do movimento curvilíneo.
Quando a força aplicada num corpo forma sistematicamente um ângulo diferente de zero graus com a direcção do movimento, a trajectória torna-se curvilínea.

Elementos do movimento curvilíneo de uma partícula
Considerando uma partícula em movimento, em relação a um referencial numa trajectória circular, teremos:
- Comprimento de uma circunferência (C): 
C=2πR

- Velocidade linear ou velocidade escalar (v): 
v=2πR/T ou v=2πRf

- Velocidade angular (ω – ómega): 
ω=2π/T ou ω=2πf
            A unidade SI da velocidade angular é o radiano por segundo (rad.s-1)

- Aceleração centrípeta ou aceleração normal (ac ou an) responsável pela mudança na direcção da velocidade linear:
ac=v2/R

- Aceleração tangencial (at), responsável pela mudança no módulo da velocidade linear: 
at=∆v/∆t

- Raio da trajectória (R), que é a distância que separa o centro da extremidade da circunferência.

- Período (T), que é o tempo gasto por uma partícula para executar uma volta completa: 
T=1/f

- Frequência (f), que é a relação entre o número de voltas (N) e o tempo (∆t) gasto para executá-las: 
f=N/∆t e seN=1volta e ∆t=T, então f=1/T

Exercício A1.1 – um objecto é lançado horizontalmente de uma altura de 7,0m, com uma velocidade inicial de 5,0m.s-1. Sabendo que a força gravítica faz-se sentir sobre o objecto, formando um raio de 0,20m, calcule a aceleração centrípeta.
Resolução:
                        Dados                         Fórmula/Resolução
                        ac=?                            ac=v2/R
                        v=5,0m.s-1                  ac=(5,0m.s-1)2/0,20m
                        R=0,20m                    ac=25,0m2.s-2/0,20m
                                                           ac=125,0m.s-2
            R: A aceleração centrípeta do objecto é de 125,0m.s-2.

Exercício A1.2 – Determine a velocidade inicial de um corpo, que efectua uma trajectória curvilínea com uma aceleração centrípeta de 60,0m.s-2, e raio de 0,15m.

Resolução:
                        Dados                       Fórmula                    Resolução
                        v=?                            ac= v2/R                     v2=60,0m.s-2x0,15m
                        ac=60,0m.s-2            acxR=v2                     v2=9,0m2.s-2
                        R=0,15m                  v2=acxR                     v2=9,0 m2.s-2
v=√9,0 m2.s-2
v=3,0m.s-1
            R: A velocidade inicial do corpo é de 3,0m.s-1

Frase para pensar: “Ninguém se deve privar de aprender aquilo que não sabe” – Sócrates