Lição Nº
Sumário: Princípio da relatividade de Einstein.
- Relatividade restrita
e Teoria Geral da Relatividade.
-
Exercícios
Relatividade
de Einstein
A relatividade de Einstein é
constituída por duas teorias bem diferentes:
- A Relatividade Especial ou
Teoria da Relatividade Restrita e
- A Teoria Geral da Relatividade.
Relatividade
Especial ou Teoria da Relatividade Restrita
As
leis que governam as mudanças de estado em quaisquer sistemas físicos tomam a
mesma forma em quaisquer sistemas de coordenadas inerciais. Esta teoria diz
respeito à comparação de movimentos observados em referenciais inerciais
diferentes que estejam a mover-se com velocidade constante uns em relação aos
outros.
Nas palavras de Einstein:
"...existem sistemas
cartesianos de coordenadas - os chamados sistemas de inércia - relativamente
aos quais as leis da física se apresentam com a forma mais simples. Podemos
assim admitir a validade da seguinte proposição: se K é um sistema de inércia,
qualquer outro sistema K' em movimento de translação uniforme relativamente a
K, é também um sistema de inércia."
Teoria
Geral da Relatividade
A luz
tem velocidade invariante igual a c em relação a qualquer sistema de coordenadas inercial. Esta teoria
diz respeito por um lado, a referenciais acelerados e à força da gravidade.
A
velocidade da luz no vácuo é a mesma para todos os observadores em referenciais
inerciais e não depende da velocidade da fonte que está emitindo
a luz nem tampouco do observador que a está medindo. A luz não requer
qualquer meio (como o éter) para
se propagar.
Simultaneidade
de Acontecimentos
Dois acontecimentos num dado
referencial são simultâneos se sinais luminosos emitidos no momento em que eles
ocorrem atingem ao mesmo tempo um observador, nesse referencial, situado a meia
distância entre os acontecimentos.
Relatividade da
simultaneidade
É um conceito
na relatividade especial, na qual se definem como simultâneos dois eventos
em um referencial inercial se a luz (visível ou qualquer
radiação electromagnética) emitida por esses eventos for simultaneamente
observada por um observador situado em um ponto equidistante à
posição dos dois eventos.
Desta definição, resulta que
em relatividade especial, dois eventos simultâneos em relação a um determinado referencial
inercial não serão simultâneos em relação a qualquer outro referencial que
esteja em movimento em relação ao primeiro.
Ou, em outras palavras: Dois
eventos que são simultâneos em um referencial não são simultâneos em nenhum
outro referencial inercial que esteja em movimento em relação ao primeiro.
Dois acontecimentos nos
pontos A e B dão-se ao mesmo tempo no sistema K1 (sistema de
referência, ligado à nave) e em instantes diferentes no sistema K (sistema de
referência, em relação ao qual a nave se move). Mas de acordo com o princípio
da relatividade os sistemas K1 e K são equivalentes. A nenhum destes
sistemas se pode dar preferência. Por isso, concluímos que a simultaneidade dos
acontecimentos em pontos distintos do espaço é relativa.
Dilatação
do tempo
O intervalo de tempo medido
num referencial em movimento relativamente ao referencial em que o
acontecimento se encontra em repouso. É dado pela expressão:
∆t = g∆t´ onde g = 1/√(1-v2/c2) e g > 1
∆t´
(intervalo
de tempo) entre dois acontecimentos medidos no referencial em que esses
acontecimentos ocorrem no mesmo lugar é designado por tempo próprio∆tp
Exercício A1.8 – Dois astronautas que se encontram numa nave
espacial, viajando a uma velocidade de 0,80c em
relação a terra, enviam uma mensagem ao controla da missão dizendo que vão
descansar durante 1,0h e que depois voltarão a entrar em contacto.
Quanto tempo permanecerão sem comunicar para os controladores em terra?
Resolução:
Dados F/R
v
= 0,80c ∆t = g∆t´ g = 1/√(1-v2/c2)
∆tp
= 1,0h ∆t = 1,7.1,0h g = 1/√(1-(0,80c)2/c2)
∆t
= ? ∆t = 1,7h g = 1,7
∆t
= 1,7.3600s
∆t
= 1h e 42seg
R: Os astronautas
permanecerão, portanto, sem comunicar para os controladores en terra durante 1h e 42 seg.
Contracção
do espaço
O comprimento próprio, Lp, é o comprimento de um
objecto medido no referencial no qual o objecto se encontra em repouso. E é
dado pela expressão:
Lp
= x2 – x1.
Se medirmos o seu
comprimento, L, num
referencial que se desloca com velocidade, v
relativamente ao outro, o seu comprimento, contracção do espaço é dado por:
L = (1/g)LP onde g = 1/√(1-v2/c2) então L = Lp /√(1-v2/c2)
Nota
#
o comprimento de um objecto é menor quando é medido num referencial no qual o
objecto se encontra em movimento.
Exercício
A1.9 – Uma régua com de 1,00m
comprimento próprio move-se paralelamente a sua maior dimensão com uma
velocidade de 0,57c em
relação a um observador. Determine o comprimento medido pelo observador.
Resolução:
Dados F/R
v = 0,57c L = Lp /√(1-v2/c2)
Lp = 1,00m L = 1,00m.√(1-(0,57c)2/c2
L
= ? L
= 1,00m.0,82
L
= 0,82m
R: = comprimento medido pelo
observador é de 0,82m.
Lição Nº
Sumário: - Movimento Relativo.
- Princípio de
Relatividade de Galileu.
-
Exercícios
Os conceitos de movimento e
repouso são relativos cuja descrição depende de um referencial específico
escolhido pelo observador, daí a necessidade de se fixar um sistema de
referência para falar de movimentos e indicá-los sempre que se pretenda falar
desse movimento.
Referencial
de Inércia
Um referencial de inércia é
aquele em que se verifica a lei da inércia, onde um corpo ou se encontra em
repouso, ou se move com velocidade constante.
FR=åFExt=0
Newton
definiu referencial de inércia como um sistema que não tem movimento acelerado
em relação as estrelas fixas, tomando assim como referencial de inércia base
aquele que tem o seu centro no Sol e cujos eixos passam por três estrelas
fixas. Este referencial é conhecido por referencial de Kepler ou referencial
inercial base de Niwton.
Diferentes observadores
usando sistemas referenciais diferentes obtêm diferentes descrições de um mesmo
movimento. Um referencial é escolhido de modo a facilitar a descrição do
movimento do objecto que se pretende estudar. Exemplos:
- Movimentos
na Terra: referenciais ligados à Terra;
- Astronomia:
referenciais em estrelas que se podem considerar imóveis (“estrelas fixas”)
- física
atómica : referencial no núcleo atómico (os electrões são muito mais leves que
o núcleo podendo-se considerar que a posição nuclear é fixa relativamente aos
electrões)
Espaço
Absoluto
É um espaço independente dos
referenciais, espaço que existiria para além dos corpos e no qual um
referencial fixo seria um referencial
inercial absoluto.
Tempo
Absoluto
Tempo independente do espaço
absoluto, isto é, igual em todos os referenciais.
Por não existir espaço
absoluto e tempo absoluto, os referenciais de inércia que adoptamos são
relativos a cada fenómeno, isto é, um referencial pode ser considerado de
inércia para um certo fenómeno e não o ser para um outro fenómeno.
Princípio
da Relatividade de Galileu
As leis da mecânica são as
mesmas em qualquer referencial inercial.
Duas
partículas P e Q, se movem relativamente a um mesmo referencial de inércia,
onde rP o vector de posição de P em relação ao
referencial S, rQ o vector de posição de Q em relação ao mesmo
referencial e rP/Q o vector de posição de P relativamente a Q, então: rP= rQ + rP/Q ou rP/Q= rP- rQ.
Derivando em ordem ao tempo
tem-se:
então
Ou seja, a velocidade da
partícula P, relativamente à partícula Q é igual à diferença
entre as velocidades das duas partículas relativamente ao referencial
considerado.
Derivando em ordem ao tempo
a velocidade, tem-se a aceleração:
Então
Ou seja, a aceleração da
partícula P, relativamente à partícula Q é igual à diferença entre as
acelerações das duas partículas relativamente ao referencial considerado.
Exercício
A1.7 – Dois comboios A e B, deslocam-se em vias-férreas rectilíneas e paralelas com as
velocidades constantes de 20m/s e 25m/s respectivamente. Determine
a velocidade do Comboio B relativamente ao
comboio A, quando:
a)
Se movem no mesmo sentido;
b)
Se movem em sentidos contrários.
Resolução:
a)
Dados Fórmula Resolução
vA=20m/s vB/A = vB
- vA vB/A =25m/s
– 20m/s
vB=25m/s vB/A
=5m/s
vB/A=?
R: A velocidade do Comboio
B relativamente ao
Comboio
A, quando se movem no mesmo sentido, é de 5m/s.
b)
Dados Fórmula Resolução
vB=25m/s vB/A
=25m/s + 20m/s
vB/A=? vB/A
=45m/s
Lição Nº
Sumário: - Componente normal e tangencial do vector
aceleração.
-
Exercícios
No movimento circular, a aceleração apresenta duas componentes: uma componente na
direcção tangente à curva, designada por aceleração tangencial e uma componente
que é perpendicular à aceleração tangencial, dirigida para o centro da
circunferência e que é designada de aceleração normal ou aceleração centrípeta
ou ainda de aceleração central.
an = asenθ e at = acosθ então a=an + at
A
componente tangencial da aceleração é a responsável pela
variação do valor da velocidade num determinado intervalo de tempo e é
caracterizada por possuir o sentido do vector velocidade, se o valor da
velocidade aumentar, e o sentido contrário ao do vector velocidade, se o valor
da velocidade diminuir.
A
componente normal da aceleração é a responsável pela
variação da direcção do vector velocidade num dado intervalo de tempo.
Apresenta sentido dirigido para o centro da circunferência. Esta componente é
perpendicular ao vector velocidade.
Exercício A1.6 - Uma partícula
realiza um movimento circular com uma aceleração de 25m.s2 e o
ângulo da aceleração com a tangente é de 45º. Determine:
a) A aceleração normal da
partícula.
b) A aceleração tangencial
da partícula.
Resolução
a) Dados Fórmula Resolução
an=? an=acosα an=25m.s-2.cos35º
a=25m.s-2 an=25m.s-2.0,819
α=35º an=20,47
m.s-2
R: A aceleração normal da partícula é de 20,47m.s-2
b) Dados Fórmula Resolução
at=? at=a.senα an=25m.s-2.sen35º
a=25m.s-2 an=25m.s-2.0,574
α=35º an=14,35 m.s-2
Lição Nº
Sumário: Movimento de um projéctil.
- Lançamento Horizontal
e Oblíquo.
-
Exercícios
O movimento de um projéctil
é o movimento de qualquer partícula que é lançada ao ar na qual actua uma força
gravítica, Fg, constante e desprezável a resistência do ar.
Para estudar o movimento do
projécteis, temos de considerar que:
1. O projéctil é
suficientemente pequeno, quando comparado com a distancia percorrida, para que
possa ser considerado uma partícula material.
2. O valor da velocidade, é
suficientemente pequeno para que se possa desprezar a resistência do ar.
3. O deslocamento do
projéctil é efectuado próximo da terra para que se possa considerar constante a
aceleração da gravidade.
O lançamento de um projéctil
pode ser: Vertical, Horizontal ou Oblíquo.
Considerando como sentido
positivo da trajectória o sentido de baixo para cima, a aceleração do movimento
do projéctil é: a=-g. e as equações do movimento são:
Equações Escalares
Equação das posições: y=yo+vot-1/2gt2
Equação das velocidades: v=vo-gt
Equação que relaciona a velocidade e o deslocamento:
v2=vo2-2g∆y
Equações Vectoriais:
Equação das posições: r=ro+vot-1/2gt2
Equação das velocidades v=vo-gt
Exercício A1.3 – um projéctil é
lançado com velocidade inicial de 150m/s,
por um canhão situado 25m
acima do solo tendo feito a trajectória durante 1,6s.
a) Determine a velocidade ao
atingir o solo.
b) Qual será a posição do
projéctil, depois de 0,8s de
trajectória?
Resolução
a) Dados Fórmula Resolução
v=? v=vo-gt v=150m/s-10m/s2.1,6s
vo=150m/s v=150m/s-16m/s
t=1,6s v=134m/s
g=10m/s2
R: A velocidade do projéctil ao atingir o
solo é de 134m/s.
b) Dados Fórmula Resolução
y=? y=yo+vot-1/2gt2 y=25m+150m/s.0,8s-1/2.10m/s2.(0,8s)2
yo=25m y=25m+120m-5m/s2.0,64s2
vo=150m/s y=145m-3,2m
t=0,8s y=141,8m
g=10m/s2
R: A
posição do projectile, depois de 0,8s de
trajectória é de 141,8m.
Lançamento
Horizontal
O lançamento horizontal de
projécteis é o caso particular em que o ângulo de lançamento é α=0o. No referencial escolhido,
a velocidade inicial, será dada por vo=vox℮x, pois voy=0, desprezando a resistência
do ar, a sua trajectória é parabólica, tendo o vector posição a forma:
r=voxt-1/2gt2
O vector posição permite
obter:
ü As
equações de velocidade
vx=v0x
vy=voy-gt como voy=0,
então vy=-gt, logo v= vx+ vy
ou seja, v= v0x-gt
ü As
equações das posições
x=voxt
y=yo+vot-1/2gt2 como yo=0m e voy=0m/s, então y=-1/2gt2
ü A
equação da trajectória
y=-(g/2v2ox).x2
ü A
equação do tempo de voo
t=√2yo/g
Exercício A1.4 – Vamos supor que um
avião que se desloca a uma altitude de 320m com
velocidade de 50m/s,
lança horizontalmente um pacote com a velocidade de 50m/s.
a) Quanto tempo fica o
pacote no ar?
b) Qual é o seu alcance?
c) Qual é o valor da
componente vertical da velocidade quando atinge o solo?
d) Qual a sua velocidade
neste instante?
Resolução
a) Dados Fórmula Resolução
t=? t=√(2yo)/g t=√(2.320m)/10m/s2
yo=320m t=√640m/10m/s2
g=10m/s2 t=√64s2
t=8s
R: O
pacote fica no ar durante 8s.
b) Dados Fórmula Resolução
x=? x=voxt x=50m/s.8s
vox=50m/s x=400m
t=8s
R: O alcance máximo do pacote é de 400m.
c) Dados Fórmula Resolução
vy=? vy=-gt vy=-10m/s2.8s
t=8s vy=-80m/s
g=10m/s2
R: O
valor da componente vertical da velocidade quando o pacote atinge o solo é de 80m/s. O sinal negativo indica
que a velocidade vertical do pacote tem sentido contrário ao do eixo vertical
do referencial.
d) Dados Fórmula Resolução
v=? v=vox-gt v=50m/s-10m/s2.8s
vox=50m/s v=50m/s-80m/s
t=8s v=-30m/s
g=10m/s2
R: O
valor da sua velocidade neste instante é de 30m/s. o
sinal negativo indica que tem sentido contrário ao eixo vertical do referencial.
Lançamento
Oblíquo
O lançamento oblíquo de
projécteis é o caso particular em que o ângulo de lançamento que faz com a
horizontal é maior que zero (α>0). A trajectória do movimento
continuando a desprezar a resistência do ar é parabólica.
Para estudar o lançamento
oblíquo de um projéctil, deve-se ter em conta as seguintes expressões:
ü Equações
das posições
x=voxt Sendo vox=vocosα Então x=vocosα
y=voy-1/2gt2 voy=vosenα y=vosenα
logo, r=vocosαt℮x+(vosenα-1/2gt2)℮y
ü Equação
das velocidades
vx=vocosα Como v=vx+vy
vy=vosenα-1/2gt
Então v=
vocosα℮x+(
vosenα-1/2gt)℮y
ü Equação
do tempo de subida
ts=voy/g Como voy=vosenα,
então ts=(vosenα)/g
ü Equação
da altura máxima
hmáx=yo+( vosenα)2/2g
ü Equação
do tempo de voo
tvoo=(2vosenα)/g
ü Equação
do alcance máximo horizontal
xmáx=(v2osen2α)/g
Exercício A1.5 – Um jogador de
futebol chuta uma bola com velocidade inicial de módulo 26m/s num referencial fixo no
campo. Essa velocidade faz um ângulo de 30o com
a horizontal. Calcule:
a) A altura máxima que a
bola atinge.
b) O tempo de voo.
c) O alcance máximo da bola.
d) A velocidade da bola ao
atingir o solo.
Resolução
a) Dados Fórmula Resolução
hmáx=? hmáx=yo+( vosenα)2/2g hmáx=0m+(26m/s.sen30o)/2.10m/s2
yo=0m hmáx=0m+(26m/s.0,5)2/20m/s2
vo=26m/s hmáx=0m+(13m/s)2/20m/s2
α=30o hmáx=0m+(169m2/s2)/20m/s2
g=10m/s2 hmáx=0m+8,45m
hmáx=8,45m
R: A altura máxima que a bola atinge é de 8,45m.
b) Dados Fórmula Resolução
tvoo=? tvoo=(2vosenα)/g tvoo=(2.26m/s.sen30o)/10m/s2
vo=26m/s tvoo=(52m/s.0,5)/10m/s2
α=30o tvoo=(26m/s)/10m/s2
g=10m/s2 tvoo=2,6s
R: O tempo de voo é de 2,6s.
c) Dados Fórmula Resolução
xmáx=? xmáx=(v2osen2α)/g xmáx=[(26m/s)2sen2.30o]/10m/s2
vo=26m/s xmáx=(676m2/s2sen60o)/10m/s2
α=30o xmáx=(676m2/s2.0,866)/10m/s2
g=10m/s2 xmáx=(780,6m2/s2)/10m/s2
xmáx=78,06m
R: O alcance máximo da bola é de 78,06m.
d) Dados Fórmula Resolução
v=? v= vocosα+( vosenα-1/2gt) v=26.cos30o+(26.sen30o-1/2.10.2,6)
vo=26m/s v=26.0,866+(26.0,5-5.2,6)
α=30o v=22,5+(13-13)
g=10m/s2 v=22,5+0
t=2,6s v=22,5m/s
R: A velocidade da bola ao atingir o solo é de 22,5m/s
Frase para pensar: “Você não pode provar uma definição. O que você pode fazer é
mostrar que ela faz sentido.”
Lição
Nº
Sumário: - Movimento curvilíneo de uma partícula
actuada por uma força constante.
-
Exercícios.
O
movimento curvilíneo é identificado como o verdadeiro movimento
de uma partícula, visto que as restrições unidimensionais não mais são
evidenciadas. O movimento não é mais vinculado. Em geral as grandezas físicas
envolvidas terão suas características plenas: velocidade, aceleração e força.
Geralmente na Natureza, o
movimento de uma partícula será descrito por uma trajectória parabólica, como é
característica do movimento curvilíneo sob acção da força gravitacional
terrestre, e aqueles movimentos descrevendo trajectórias circulares estando
sujeitos à acção da força centrípeta, que não é uma força externa, no sentido
convencional, mas é uma característica do movimento curvilíneo.
Quando a força aplicada num
corpo forma sistematicamente um ângulo diferente de zero graus com a direcção
do movimento, a trajectória torna-se curvilínea.
Elementos
do movimento curvilíneo de uma partícula
Considerando uma partícula
em movimento, em relação a um referencial numa trajectória circular, teremos:
- Comprimento de uma
circunferência (C):
C=2πR
- Velocidade linear ou
velocidade escalar (v):
v=2πR/T ou v=2πRf
- Velocidade angular (ω –
ómega):
ω=2π/T ou ω=2πf
A unidade SI da velocidade angular é o radiano por segundo (rad.s-1)
- Aceleração centrípeta ou
aceleração normal (ac ou an) responsável pela
mudança na direcção da velocidade linear:
ac=v2/R
- Aceleração tangencial (at),
responsável pela mudança no módulo da velocidade linear:
at=∆v/∆t
- Raio da trajectória (R),
que é a distância que separa o centro da extremidade da circunferência.
- Período (T), que é
o tempo gasto por uma partícula para executar uma volta completa:
T=1/f
- Frequência (f), que
é a relação entre o número de voltas (N) e o tempo (∆t) gasto para
executá-las:
f=N/∆t e
seN=1volta e ∆t=T, então f=1/T
Exercício A1.1 – um objecto
é lançado horizontalmente de uma altura de 7,0m, com uma velocidade
inicial de 5,0m.s-1. Sabendo que a força gravítica
faz-se sentir sobre o objecto, formando um raio de 0,20m, calcule
a aceleração centrípeta.
Resolução:
Dados
Fórmula/Resolução
ac=?
ac=v2/R
v=5,0m.s-1
ac=(5,0m.s-1)2/0,20m
R=0,20m
ac=25,0m2.s-2/0,20m
ac=125,0m.s-2
R: A aceleração centrípeta do objecto é de 125,0m.s-2.
Exercício A1.2 – Determine a
velocidade inicial de um corpo, que efectua uma trajectória curvilínea com uma
aceleração centrípeta de 60,0m.s-2, e raio de 0,15m.
Resolução:
Dados Fórmula Resolução
v=? ac= v2/R v2=60,0m.s-2x0,15m
ac=60,0m.s-2 acxR=v2 v2=9,0m2.s-2
R=0,15m v2=acxR v2=9,0 m2.s-2
v=√9,0 m2.s-2
v=3,0m.s-1
R:
A velocidade inicial do corpo é de 3,0m.s-1